Comment Calculer L'air D'un Quadrilatère

AIRE du QUADRILAT�RE quelconque

La donn�e des quatre c�tes d'un quadrilat�re ne suffit pas pour caract�riser un quadrilat�re, ni pour calculer son aire. D'autres connaissances sont n�cessaires: longueur des diagonales, valeur des angles, ou coordonn�es des sommets.

L'aire du quadrilat�re peut �tre estim�e ou calcul�e de diverses mani�res:

Graphique � D�composition en triangles rectangles >>>

Analytique � Connaissance des coordonn�es des sommets >>>

Alg�brique � M�thode des c�t�south et diagonales >>>

�� M�thode des diagonales et leur angle >>>

�� Yard�thode des c�t�s et angles >>>

�� M�thode utilisant la loi des cosinus >>>

Interpretation par d�composition en triangles
M�thode de d�coupe selon le quadrillage Cette premi�re grand�thode est la plus simple lorsqu'on north'exige pas une pr�cision math�matique. � partir de sommets, on trace des lignes selon le quadrillage (en vert). De la sorte, la mesure des longueurs est facilit�e. L'aire du quadrilat�re est la somme des aires des triangles rectangles.	Aire = somme des aires des triangles rectangles �
Thou�thode de d�coupe selon une diagonale Le calcul est plus unproblematic � condition de connaitre la longueur de segments internes. On dessine la diagonale BD (ou l'autre). Les hauteurs des triangles ABD et BCD sont trac�es � l'adjutant d'united nations carr� dessin� et orient� selon la diagonale. Si vous �tes sur une feuille de papier, vous mesurez la longueur de BD, AE et CF. Si vous �tes sur fifty'ordinateur vous copiez les segments et vous les orientez selon l'horizontale (outil pivoter en degr�s sur Word). On peut �galement dessiner des cercles. L'aire du quadrilat�re est �gale au produit de la diagonale par la somme des longueurs des hauteurs. �	Aire = � D (h_one + h_ii) Notez que la longueur de la diagonale D se calcule aussi via Pythagore:9� + 8� = 144 = 12�

Quadrilat�re CONVEXE - Formule analytique
On connait la formule du calcul analytique de l'aire du triangle qui fait intervenir 50'aire de trap�ze. Le m�me principe de calcul southward'applique au quadrilat�re quelconque et, � status de connaitre les coordonn�es des sommets, on obtient tr�south simplement l'aire pr�cise du quadrilat�re.		�
Rappel: aire du trap�ze	Produit de la hauteur par la demi-somme des bases. >>>
Formulation analytique de fifty'aire du quadrilat�re CONVEXE Pour les quadrilat�res concaves, il est conseill� de reprendre le calcul d�south le d�function, avec les trap�zes.	Barres verticales = prendre la valeur absolue (sans signe)
Awarding num�rique	� � Valeur exacte. �
Interpr�tation thou�om�trique La formule est la somme de deux produits dont chacun est l'aire d'un rectangle. Le recouvrement des deux rectangles sur deux fois le quadrilat�re est une dissection faisable mais pas simple.

Formule avec c�t�s et angles � Bretschneider
Cette formule fait intervenir les quatre c�t�s et deux angles oppos�s du quadrilat�re. On mesure les angles par l'une des m�thodes indiqu�es ci-dessus. Sur la figure, calcul des angles par les arcs-tangente. Application num�rique	Ou, sous forme d�velopp�e:
Formule de Brahmagupta pour les quadrilat�res inscriptibles. Voir D�monstration / Formule de H�ron pour les triangles Voir Quadrilat�re inscriptibles �	Si la quadrilat�re est inscriptible dans un cercle de rayon R, alors A + B = 180�, et le cosinus de sa moiti� est nul. La formule devient: Et avec le rayon du cercle: � Propri�t�: l'aire du quadrilat�re inscrit occupe la surface maximale pour des longueurs de c�t�s donn�es. Relation entre diagonales et c�t�south pour un quadrilat�re inscriptible: p.q = a.c + b.d
Formule pour tout quadrilat�re

Loi des cosinus (longueur) et des sinus (aire)
La figure montre notre quadrilat�re compl�tement r�solu: cot�s et angles. Supposons que nous ne connaissions que trois c�t�s (a, b et c) et les deux angles qu'ils forment (B et C). La diagonale Air-conditioning partage le quadrilat�re en deux triangles. Nous pouvons calculer l'aire du triangle ABC et celle du triangle ACD. Cascade cela nous devons calculer la longueur de la diagonale AC et l'angle DCA avec la� loi des cosinus; et calculer l'aire des deux triangles avec la loi des sinus.	Seuls a, b, c, B et C (en jaune) sont connus. Aire Quadrilat�re = Aire triangle ABC + Aire triangle ACD
La loi des cosinus appliqu�e� au triangle ABC: La loi des sinus pour le calcul des aires: